【学习笔记】Kruskal重构树

大概就是模拟 Kruskal 加边的过程,重构成一棵树。

过程大概是把原图中所有的点作为重构树的叶子,边按一定的秩排序,合并两个集合时把连接两个集合的边权作为公共父亲的点权。

这样的建树有一定性质。比如基于最小生成树的重构,两个点的 $lca$ 点权一定是「两点之间所有路径上最大值的最小值」。

[NOI2018] 归程

给定一张图,每条路有一个长度一个海拔。

每次询问,询问从点 $x$ 出发,第一段只走海拔 $>h$ 的边,走到某个点,然后无限制地走第二段到达 $1$ 号点,第二段路程的最小长度。

强制在线。

发现Kruskal重构树具有堆性质,于是如果基于最大生成树重构,那么对于一个点能够经过大于 $v$ 的边到达的点应该在某个子树内。所以可以按照这个方式倍增。之前预处理一下子树内到 $1$ 的 $\rm mindist$ 即可。

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#define il inline
#define to(k) E[k].to
#define fr(k) E[k].fr
#define val(k) E[k].val
#define cost(k) E[k].cost
#define next(k) E[k].next

const int N = 400010 ;
const int M = 400010 ;

struct edges{
int u, v, w, c ;
}e[M << 1] ;
struct Edge{
int val, cost ;
int fr, to, next ;
}E[M << 1] ;
struct Node{
int dis, n ;
bool operator <(const Node & neww) const{
return dis > neww.dis ;
}
} ;
int T ;
int ff[N] ;
int base[N] ;
int lastans ;
int fa[N][20] ;
int n, m, q, s ;
int head[N], cnt ;
int dis[N], vis[N] ;
priority_queue<Node> Q ;

il int qr(){
int k = 0 ;
char c = getchar() ; while (!isdigit(c)) c = getchar() ;
while (isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48, c = getchar() ;
return k ;
}
il void add(int u, int v, int w, int c){
E[++ cnt].to = v, E[cnt].fr = u ;
E[cnt].val = w, E[cnt].cost = c ;
E[cnt].next = head[u], head[u] = cnt ;
}
void dijkstra(){
memset(dis, 127, sizeof(dis)) ;
Q.push((Node){0, 1}), dis[1] = 0 ;
while(!Q.empty()){
Node qwq = Q.top() ; Q.pop() ;
int x1 = qwq.n, x2 = qwq.dis ;
if(vis[x1]) continue ; vis[x1] = 1 ;
for(int k = head[x1]; k ; k = next(k)){
dis[to(k)] = min(dis[E[k].to], x2 + cost(k)) ;
Q.push((Node){dis[to(k)], to(k)}) ;
}
}
}
il bool comp(edges u, edges v){ return u.w > v.w ; }
int find(int x){
return x == ff[x] ? x : ff[x] = find(ff[x]) ;
}
void dfs(int x, int ffff){
fa[x][0] = ffff ;
for (int j = 1 ; j <= 19 ; ++ j)
fa[x][j] = fa[fa[x][j - 1]][j - 1] ;
for (int k = head[x] ; k ; k = next(k))
dfs(to(k), x), dis[x] = min(dis[x], dis[to(k)]) ;
}
int main(){
//freopen("return.in", "r", stdin);
//freopen("return.out", "w", stdout);
cin >> T ;
while (T --){
cin >> n >> m ; int tot ;
int u, v, w, c, k, l, now, ok ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].c >> e[i].w,
add(e[i].u, e[i].v, e[i].w, e[i].c), add(e[i].v, e[i].u, e[i].w, e[i].c) ;
dijkstra() ;
cin >> q >> k >> s ; tot = n ; ok = 0 ;
sort(e + 1, e + m + 1, comp) ; //cout << 233 << endl ;
fill(head, head + 2 * n + 1, 0), cnt = 0 ;
for (int i = 1 ; i <= 2 * n + 1 ; ++ i) ff[i] = i ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i){
int f1 = find(e[i].u) ;
int f2 = find(e[i].v) ;
if (f1 != f2){
++ ok ;
now = ++ tot ;
base[now] = e[i].w ;
ff[f1] = now, ff[f2] = now ;
add(now, f1, 0, 0), add(now, f2, 0, 0) ;
}
if (ok == n - 1) break;
}
dfs(now, 0) ;
for (int i = 1 ; i <= q ; ++ i){
u = qr(), l = qr() ; int x = u ;
l = (l + 1ll * k * lastans) % (s + 1) ;
x = (x + 1ll * k * lastans - 1) % n + 1 ;
for (int j = 19 ; j >= 0 ; -- j)
if (fa[x][j] && base[fa[x][j]] > l) x = fa[x][j] ;
printf("%d\n", lastans = dis[x]) ;
}
memset(fa, 0, sizeof(fa)) ;
memset(base, 0, sizeof(base)) ;
fill(vis + 1, vis + tot + 1, 0), cnt = 0 ;
fill(head + 1, head + tot + 1, 0), lastans = 0 ;
}
return 0 ;
}

神秘的题目

给出一棵 $n$ 个点的树,树边上有边权。

定义一个点的权值为其到其他所有节点的路径上最小边权之和,求权值最大的点。

建一棵基于最大生成树的重构树,然后发现每条边作为 $(u,v)$ 最小边权当且仅当 $u,v$ 在重构树上的 $lca$ 是这条边。

所以可以直接离线统计每条边的贡献,dfs 时将左右子树中的叶子结点个数加权互加一下就完了。可以直接在 dfn 上维护一个差分,这样就是排序外线性了。