【题解】[Ynoi2019]Yuno loves sqrt technology II

给定一个序列 $\{a_n\}$,多次询问某个区间的逆序对数。

$1\leq n,m\leq 10^5,|a_i|\leq 10^9$ 。

这还是我第一次认真做了 lxl 的由乃 OI 题目,233.

还是考虑二次离线,那么需要预处理

这 $4$ 个信息,因为在计算逆序对的时候是有方向性的,$l$ 向左扩展/向右收缩对应的是 $(l+1,n)$ 之间的信息,$r$ 向右扩展/左收缩对应的是 $(1,r-1)$ 之间的信息。同时注意到由于 $(i,i)(1,i)=(i,i)(1,i-1)$ ,所以本质上是两个信息。这个可以 $O(n\log n)$ 预处理。

同理,对于不能预处理的区间,也是要分左边的贡献和右边的贡献来做。根据方向,可以方便地判断每种情况贡献应该怎么加,拿两种值域分块,分别维护前缀和&后缀和就好了。

实现细节方面需要注意:

1、本题数据中存在 $a_i$ 相同的情况,这个地方会卡求逆序对时的边界,注意判一下即可。

2、值域分块需要注意,只需要修改整块的 sum,零散的点单独算贡献。

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#pragma GCC optimize(fast)

#pragma G++ optimize(fast)

#include <bits/stdc++.h>

#define il inline

typedef long long ll ;

using namespace std ;

#define il inline

#define lwb lower_bound

const int N = 100050 ;

int B ;
int V ;
int L ;
int cnt ;
ll s1[N] ;
ll s2[N] ;
ll res[N] ;
ll ans[N] ;
int bl[N] ;
int tmp[N] ;
int blv[N] ;
int _bit[N] ;
int sumb[N] ;
int sump[N] ;
int base[N] ;
int n, m, k ;

namespace IPT {

const int L = 1 << 21;
char buf[L], *front=buf, *end=buf;
char GetChar() {
if (front == end) end = buf + fread(front = buf, 1, L, stdin);
return (front == end) ? -1 : *(front++);
}
template <typename T>
inline void qrd(T &x) {
char ch = GetChar(), lst = x = 0;
while (!isdigit(ch)) lst = ch, ch = GetChar();
while (isdigit(ch)) x = x * 10 + (ch ^ 48), ch = GetChar();
if (lst == '-') x = -x;
}
template <typename T>
void qra(T *const __ary, int __n) {
for (int i = 1; i <= __n; ++i) qrd(__ary[i]);
}
template <typename T>
int qrs(T *p) {
T *beg = p;
do *p = GetChar(); while (!isalnum(*p));
do *(++p) = GetChar(); while (isalnum(*p));
*p = 0;
return p - beg;
}
template <typename T>
void qrdb(T &x) {
char ch = GetChar(), lst = x = 0;
while (!isdigit(ch)) lst = ch, ch = GetChar();
while (isdigit(ch)) { x = x * 10 + (ch - '0'); ch = GetChar(); }
if (ch == '.') {
ch = GetChar();
for (double t = 0.1; isdigit(ch); t *= 0.1) {
x += (t * (ch - '0'));
ch = GetChar();
}
}
if (lst == '-') x = -x;
}

}

namespace OPT {

const int L = 30;
char buf[L];

template <typename T>
inline void qw(T x, const char aft = 0) {
if (x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
int top = 0;
do { buf[++top] = static_cast<char>(x % 10 + '0'); } while (x /= 10);
while (top) putchar(buf[top--]);
if (aft) putchar(aft);
}
template <typename T>
void qwa(T *const __ary, int __n, const char e1, const char e2) {
for (int i = 1; i < __n; ++i) qw(__ary[i], e1);
qw(__ary[__n], e2);
}
template <typename T>
void qws(T *p, const int __n, const char ed) {
for (int i = 0; i < __n; ++i) putchar(p[i]);
if (ed) putchar(ed);
}
template <typename T>
void qws(T *p, const char ed) {
while (*p) putchar(*p++);
if(ed) putchar(ed);
}

}

using IPT::qrd;
using IPT::qra;
using IPT::qrs;
using IPT::qrdb;
using OPT::qw;
using OPT::qwa;
using OPT::qws;

vector< tuple<int, int, int> > ql[N], qr[N] ;

struct query{ int id, l, r ;} q[N] ;

il bool comp(const query &a, const query &b){
return (bl[a.l] ^ bl[b.l]) ? bl[a.l] < bl[b.l] :
((bl[a.l] & 1) ? a.r < b.r : a.r > b.r) ;
}
il int ask(int p){
int ret = 0 ;
for ( ; p ; p -= p & -p) ret += _bit[p] ;
return ret ;
}
il void add(int p){
for ( ; p <= V ; p += p & -p) _bit[p] ++ ;
}
il void Inssuf(const int &x){
for (int i = blv[x] + 1 ; i <= blv[V] ; ++ i) sumb[i] ++ ;
for (int i = x ; blv[x] == blv[i] && i <= V ; ++ i) sump[i] ++ ;
}
il int Asksuf(const int &x){
return sump[x] + sumb[blv[x]] ;
}
il void Inspre(const int &x){
for (int i = 1 ; i <= blv[x] - 1 ; ++ i) sumb[i] ++ ;
for (int i = x ; blv[x] == blv[i] && i >= 1 ; -- i) sump[i] ++ ;
}
il int Askpre(const int &x){
return sump[x] + sumb[blv[x]] ;
}
int main(){
qrd(n), qrd(m), B = n / sqrt(m) ;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
qrd(base[i]), tmp[i] = base[i] ;
sort(tmp + 1, tmp + n + 1) ;
L = unique(tmp + 1, tmp + n + 1) - tmp - 1 ;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i){
base[i] = lwb(tmp + 1, tmp + L + 1, base[i]) - tmp ;
V = max(base[i], V) ; bl[i] = i / B ;
}
B = sqrt(V) + 1 ;
for (int i = 0 ; i <= V ; ++ i) blv[i] = i / B + 1 ;
for (int i = n ; i >= 1 ; -- i)
s2[i] = s2[i + 1] + ask(base[i] - 1), add(base[i]) ;
fill(_bit, _bit + V + 1, 0) ;
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
s1[i] = s1[i - 1] + i - 1 - ask(base[i]), add(base[i]) ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i)
qrd(q[i].l), qrd(q[i].r), q[i].id = i ;
sort(q + 1, q + m + 1, comp) ; q[0].l = 1, q[0].r = 0 ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i){
int newl = q[i].l ;
int newr = q[i].r ;
int l = q[i - 1].l ;
int r = q[i - 1].r ;
ans[i] -= s2[l] + s1[r] ;//l 的贡献变成了一个后缀,原来是 l'-(l-1),现在变成了 l-l'
ans[i] += s2[newl] + s1[newr] ;//l 和 r 要分开计算贡献
if (newl < l)
qr[newr + 1].emplace_back(newl, l - 1, -i) ;
else if (newl > l)
qr[newr + 1].emplace_back(l, newl - 1, i) ;
if (newr < r)
ql[l - 1].emplace_back(newr + 1, r, i) ;
else if (newr > r)
ql[l - 1].emplace_back(r + 1, newr, -i) ;
}
for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i){
Inspre(base[i]) ;
for (const auto &j : ql[i]){
int l, r, id ;
tie(l, r, id) = j ; ll tmp = 0 ;
for (int o = l ; o <= r ; ++ o)
tmp += Askpre(base[o] + 1) ;
if (id < 0)
ans[id * (-1)] -= tmp ;
else ans[id] += tmp ;
}
}
memset(sumb, 0, sizeof(sumb)) ;
memset(sump, 0, sizeof(sump)) ;
for (int i = n ; i >= 1 ; -- i){
Inssuf(base[i]) ;
for (const auto &j : qr[i]){
int l, r, id ;
tie(l, r, id) = j ; ll tmp = 0 ;
for (int o = l ; o <= r ; ++ o)
tmp += Asksuf(base[o] - 1) ;
if (id < 0)
ans[id * (-1)] -= tmp ;
else ans[id] += tmp ;
}
}
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) ans[i] += ans[i - 1] ;
for (int i = 1 ; i <= m ; ++ i) res[q[i].id] = ans[i] ;
qwa(res, n, '\n', '\n') ;return 0 ;
}